UNIDAD 3 SIST. DE ECUACIONES

INSTRUCCIONES: Analiza la siguiente información, comprendela perfectamente, ya que la proxima clase la comentaremos por equipos.....gracias

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales, no Homogeneos, Homogeneos, usando el método de Gauss, y Gauss-Jordan.

Contacto. www.jesuspenama@gmail.com

Contenido 1

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales.
1.1. Ecuaciones lineales
1.2. Ejemplos, ecuaciones lineales y su solucion
1.2.1. La ecuacion ax = b
1.2.2. La ecuacion ax + by = c
1.2.3. La ecuacion ax + by + cz = d
1.3. Sistemas de ecuaciones 2 £ 2
1.3.1. Ejemplos de sistemas 2 £ 2
1.4. Solucion de sistemas de ecuaciones
1.5. Metodo de eliminacion de Gauss
1.6. Metodo de eliminacion de Gauss-Jordan
1.7. Sistemas Homogeneos
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales

1.1. Ecuaciones lineales.
Defnicion 1 Una ecuacion lineal sobre el campo R es una expresion de la
forma:
a1x1 + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn = b;
donde los ai; b 2 R; y las xi son indeterminadas.
Un conjunto de valores que toman las indeterminadas x1 = c1; x2 = c2; x3 =
c3; ::; xn = cn, se llama solucion de la ecuacion lineal si es verdadera la igualdad:
a1c1 + a2c2 + ¢ ¢ ¢ + ancn = b:
Siempre tenemos los siguientes casos posibles:
1. Existe una unica solucion.
2. No existe solucion.
3. Existe mas de una solucion.
1.2. Ejemplos, ecuaciones lineales y su solucion
1.2.1. La ecuacion ax = b
1. 2x = ¡1, solucion x = ¡1
2
, soluci¶on ¶unica.
2. 3x = 5, solucion x =
5
3
, solucion unica.
3. La ecuacion ax = b tiene unica solucion si y s¶olo si a 6= 0, no hay solucion si
a = 0; y b 6= 0, hay mas de una solucion si a = 0; y b = 0:
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 3
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
2 x . 2
Figura 1: Funcion 2x en el valor 2x = 2.
4. El caso especial es si b = 0; es decir ax = 0, en este caso la ecuacion siempre
tiene una solucion y esa solucion es x = 0; tambien llamada solucion trivial.
1.2.2. La ecuacion ax + by = c
1. Si a o b es cero regresamos al caso anterior, entonces a 6= 0; b 6= 0:
2. x+y = 1, en este caso tenemos una in¯nidad de soluciones, las soluciones se
encuentran asignando un valor a una variable, ya sea x o y, posteriormente
se despeja la otra variable.
3. x + y = 1, y = r, entonces x = 1 ¡ r:
4. 2x ¡ 3y = 2, y = r, entonces x =
2 + 3r
2
:
5. En este caso (ax + by = c), tenemos una ecuacion y dos variables, podemos
asignarles un valor arbitrario r a una variable, (a esta variable le llamaremos
variable libre), as¶³ y = r; x =
c ¡ br
a
.

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 4
0.5 1 1.5
0.5
1
1.5
2 x - 2
Figura 2: Funcion 2x ¡ 1 en el valor 2x ¡ 2 = 0.
6. De nuevo si c = 0, entonces la ecuacion siempre tiene la solucion x = y = 0;
(la solucion trivial).
7. Si a 6= 0; b 6= 0; c = 0 entonces la ecuacion ax + by = 0 tiene mas soluciones
que la trivial, si y = r, entonces x = ¡br
a
.
1.2.3. La ecuacion ax + by + cz = d
1. En este caso, a 6= 0; b 6= 0; c 6= 0:
2. Esta ecuacion tiene 2 variables libres (numero de variables menos numero
de ecuaciones), por ejemplo z; y, si asignamos valores arbitrarios a ellas z =
r; y = s tenemos que el conjunto solucion es f
d ¡ (bs + cr)
a
; s; rg.
3. Si d = 0, entonces la ecuacion siempre tiene una solucion x = y = z = 0, la
solucion trivial. Las otras son f¡
bs + cr
a
; s; rg.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 5
Defnicion 2 Un sistema de m ecuaciones con n incognitas es el siguiente
arreglo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ¢ ¢ ¢ + a3nxn = b3
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = bm
Donde las constantes a11; ::; a1n; a12; :::a2n; ::; am1; ::; amn; b1; ::; bm 2 R, y las
incognitas x1; ::; xn son indeterminadas de numeros reales.
Ejemplos:
Un sistema de ecuaciones lineales con n incognitas y m ecuaciones puede ser:
1.
2x1 + 3x2 + x3 = 5
5x1 ¡ x2 + 2x3 = 1
¡4x1 + 8x2 + 2x3 = 0
Es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas.
2.
2x1 + 3x2 + x3 + 4x4 = 5
x1 ¡ 3x2 + 5x3 = 9
Es un sistema de 2 ecuaciones con 4 incognitas.
Defnicion 3 Una solucion de un sistema de ecuaciones, es un conjunto de
valores reales que toman las incognitas x1; ::; xn y dan como resultado todas
las igualdades del sistema de ecuaciones verdaderas.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 6
1.3. Sistemas de ecuaciones 2 £ 2
Los sistemas de ecuaciones mas simples son sistemas de 2 ecuaciones con 2
incognitas.
Geometricamente puede interpretarse, que un sistema de 2 ecuaciones con dos
incognitas, son dos l³neas rectas. Entonces el sistema tiene una unica solucion si
las rectas se intersectan en un solo punto. No tiene solucion es sistema si las rectas
son paralelas. Y el sistema tiene mas de una solucion (una cantidad infnita) si las
rectas son la misma.
1.3.1. Ejemplos de sistemas 2 £ 2.
1. Considere el sistema
x + y = 1
x ¡ y = ¡1
Entonces el sistema se interpreta como las dos rectas:
y = 1 ¡ x
y = x + 1
La soluci¶on es la intersecci¶on de las dos rectas, ¯gura 3.
2. Considere el sistema
x ¡ y = 1
x ¡ y = ¡1
Entonces el sistema se interpreta como las dos rectas:
y = x ¡ 1
y = x + 1
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 7
0.5 1 1.5
0.5
1
1.5
y . x + 1
y . 1 - x
Punto de intersección
Figura 3: Las rectas y = x + 1; y = 1 ¡ x y su punto de intersecci¶on.
En este caso las dos rectas son paralelas, entonces el sistema no tiene soluci¶on,
¯gura 4.
3. Considere el sistema
x ¡ y = ¡1
2x ¡ 2y = ¡2
Entonces el sistema se interpreta como las dos rectas:
y = x + 1
y =
1
2
(2x + 2)
En este caso las dos rectas son la misma, entonces el sistema tiene una in-
¯nidad de soluciones, ¯gura 5.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 8
0.5 1 1.5
0.5
1
1.5
y . x + 1
y . x - 1
Rectas paralelas
Figura 4: Las rectas y = x + 1; y = x ¡ 1, son paralelas.
0.5 1 1.5
0.5
1
1.5
y . x + 1
2 y . 2 x - 2
La misma recta
Figura 5: Las rectas y = x + 1; y =
1
2
(2x ¡ 2), son la misma recta.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 9
1.4. Soluci¶on de sistemas de ecuaciones.
De¯nici¶on 4 Dos sistemas de ecuaciones lineales se llaman equivalentes si
tienen el mismo conjunto de soluciones.
Geom¶etricamente se interpreta a un sistema de 2 ecuaciones con 2 inc¶ognitas
como dos l¶³neas rectas, y en el caso de que tengas una ¶unica soluci¶on, son dos
rectas que se intersectan en un punto (x0; y0). Entonces otro sistema de ecuaciones
lineales que tenga el mismo conjunto de soluciones que el anterior, ser¶an otras dos
cualesquiera l¶³neas rectas que se intersecten en el mismo punto (x0; y0). De hecho
hay en este caso una cantidad in¯nita de sistemas de ecuaciones lineales con la
misma soluci¶on, es decir equivalentes. Por ejemplo el sistemas:
x ¡ y = 0
x ¡ y = 2
Tiene como soluci¶on el punto (1; 1), ¯gura 6. Tambi¶en el sistema:
x=2 ¡ y = ¡1=2
2x + y = 3
Tiene como soluci¶on tambi¶en el punto (1; 1), ¯gura 7. Es decir, los dos sistemas
tienen la misma soluci¶on, por lo tanto son sistemas equivalentes. M¶as a¶un podemos
generar cualquier otro sistema con la misma soluci¶on, a partir de la f¶ormula y¡1 =
m(x ¡ 1).
Entonces una estrategia para resolver un sistemas de ecuaciones lineales, es
transformar el SEL a otro SEL que sea equivalente, pero que sea m¶as f¶acil de
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 10
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
y . 2 y . x - x
Punto de intersección
Figura 6: Las rectas del sistema x ¡ y = 0, x ¡ y = 2.
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
y .
x
€€€€€
2
+
1
€€€€€
2
y . 3 - 2 x
Punto de intersección
Figura 7: Las rectas del sistema x=2 ¡ y = ¡1=2, 2x + y = 3.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 11
0.5 1 1.5 2
0.5
1
1.5
Figura 8: Sistemas Equivalentes.
resolver. Para poder transformar un SEL a otro SEL equivalente, basta aplicar
algunas operaciones sobre las ¯las del SEL que se llaman operaciones elementales.
Operaciones elementales sobre los sistemas de ecuaciones:
Las operaciones elementales sobre sistemas de ecuaciones son:
1. Intercambio de dos ecuaciones.
2. Multiplicar una ecuaci¶on por una constante diferente de cero.
3. Sumar un m¶ultiplo de una ecuaci¶on a otra ecuaci¶on.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 12
Proposici¶on 1 Un sistema de ecuaciones lineales A que se obtiene de otro
B por medio de operaciones elementales, entonces A y B son equivalentes, es
decir tienen el mismo conjunto de soluciones.
Ejercicios: entontrar la soluci¶on del siguiente SEL, aplicando opera-
ciones elementales sobre ecuaciones:
Ejercicio 1
2x + y = 1
3x ¡ y = 2
Paso 1 Se aplica una OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡3E1 + 2E2
¡3E1 : ¡6x ¡ 3y = ¡3
2E2 : 6x ¡ 2y = 4
E2 : ¡5y = 1
2x + y = 1
3x ¡ y = 2 »=
2x + y = 1
¡5y = 1
Paso 2 Se obtiene el valor de y = ¡1=5 de la nueva ecu. (2).
Paso 3 Se obtiene el valor de x = 3=5 de la ecu. (1).
Ejercicio 2
2x + y = 1
3x ¡ y = 2
Paso 1 Se aplica una OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡3=2E1 + E2
¡3=2E1 : ¡3x ¡ 3=2y = ¡3=2
E2 : 3x ¡ y = 2
E2 : ¡5=2y = 1=2
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 13
2x + y = 1
3x ¡ y = 2 »=
2x + y = 1
¡5=2y = 1=2
Paso 2 Se obtiene el valor de y = ¡1=5 de la nueva ecu. (2).
Paso 3 Se obtiene el valor de x = 3=5 de la ecu. (1).
Ejercicio 3
x + 2y = 8
3x ¡ 4y = 4
Paso 1 Se aplica una OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡3E1 + E2
¡3E1 : ¡3x ¡ 6y = ¡24
E2 : 3x ¡ 4y = 4
E2 : ¡10y = ¡20
x + 2y = 8
3x ¡ 4y = 4 »=
x + 2y = 8
¡10y = ¡20
Paso 2 Se obtiene el valor de y = 2 de la nueva ecu. (2).
Paso 3 Se obtiene el valor de x = 4 de la ecu. (1).
Ejercicio 4
2x + y ¡ 3z = 5
3x ¡ y + 2z = 5
5x ¡ 3y ¡ z = 16
Paso 1 Se aplica una OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡3E1 + 2E2
¡3E1 : ¡6x ¡ 3y + 9z = ¡15
2E2 : 6x ¡ 2y + 4z = 10
E2 : ¡5y + 13z = ¡5
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 14
Paso 2 Se aplica una OE sobre la ecu. (3). E3 ! ¡5E1 + 2E3
¡5E1 : ¡10x ¡ 5y + 15z = ¡25
2E3 : 10x ¡ 6y ¡ 2z = 32
E3 : ¡11y + 13z = 7
2x + y ¡ 3z = 5
3x ¡ y + 2z = 5
5x ¡ 3y ¡ z = 16
»=
2x + y ¡ 3z = 5
¡5y + 13z = ¡5
¡11y + 13z = 7
Paso 3 Se aplican OE a las ecua. E2 y E3. E3 ! ¡E2 + E3
¡E2 : 5y ¡ 13z = 5
E3 : ¡11y + 13z = 7
E3 : ¡6y = 12
2x + y ¡ 3z = 5
¡7y + 13z = ¡5
¡11y + 13z = 7
»=
2x + y ¡ 3z = 5
¡5y + 13z = ¡5
¡6y + = 12
Paso 4 Se obtiene el valor de y = ¡2 de E3.
Paso 5 Se obtiene el valor de z = ¡15
13 de E2.
Paso 6 Se obtiene el valor de x = 23
13 de E1.
Ejercicio 5
2x + 4y + 6z = 18
4x + 5y + 6z = 24
3x + y ¡ 2z = 4
Paso 1 Se aplica una OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡2E1 + E2
¡2E1 : ¡4x ¡ 8y ¡ 12z = ¡36
E2 : 4x + 5y + 6z = 24
E2 : ¡3y ¡ 6z = ¡12
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 15
Paso 2 Se aplica otra OE sobre la ecu. (2). E2 ! ¡1=3E2
¡1=3E2 : y + 2z = 4
Paso 3 Se aplica una OE sobre la ecu. (3). E3 ! ¡3E1 + 2E3
¡3E1 : ¡6x ¡ 12y ¡ 18z = ¡54
2E3 : 6x + 2y ¡ 4z = 8
E3 : ¡10y ¡ 22z = ¡46
Paso 4 Se aplica otra OE sobre la ecu. (2). E3 ! ¡1=2E3
¡1=2E3 : 5y + 11z = 23
2x + 4y + 6z = 18
4x + 5y + 6z = 24
3x + y ¡ 2z = 4
»=
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
5y + 11z = 23
Paso 5 Se aplican OE a las ecua. E2 y E3. E3 ! ¡5E2 + E3
¡5E2 : ¡5y ¡ 10z = ¡20
E3 : 5y + 11z = 23
E3 : z = 3
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
5y + 11z = 23
»=
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
z = 3
Paso 4 Se obtiene el valor de z = 3 de E3.
Paso 5 Se obtiene el valor de y = ¡2 de E2.
Paso 6 Se obtiene el valor de x = 4 de E1.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 16
1.5. M¶etodo de eliminaci¶on de Gauss.
M¶etodo 1 El m¶etodo de Gauss consiste en transformar un sistema de
ecuaciones A, a otro B, por medio de operaciones elementales, de tal forma
que B queda en una forma triangular y por lo tanto puede ser resuelto con
despejes sucesivos simples.
a011x1 + a012x2 + a013x3 + ¢ ¢ ¢ + a01nxn = b01
a022x2 + a023x3 + ¢ ¢ ¢ + a02nxn = b02
a033x3 + ¢ ¢ ¢ + a03nxn = b03
...
a0mnxm = b0m
Como se sabe un SEL puede tener una ¶unica soluci¶on, puede no tener soluciones,
o tener m¶as de una soluci¶on. El M¶etodo de Gauss nos permite saber en cual de
estos casos esta un SEL.
1. En el caso de obtener un SEL equivalente al original, donde obtengamos el
mismo n¶umero de ecuaciones que de inc¶ognitas y podamos despejar a todas
las inc¶ognitas. Entonces el sistema tiene una ¶unica soluci¶on.
2. En el caso de obtener un SEL equivalente al original, donde obtengamos
una contradicci¶on, es decir, una ecuaci¶on falsa. Entonces el sistema no tiene
soluci¶on.
3. En caso de obtener un SEL equivalente al original, donde obtengamos m¶as
inc¶ognitas que ecuaciones. Entonces el sistema tiene m¶as de una soluci¶on.
El n¶umero de variables menos el n¶umero de ecuaciones se llama n¶umero de
variables libres.
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 17
1.6. M¶etodo de eliminaci¶on de Gauss-Jordan.
M¶etodo 2 El m¶etodo de Gauss-Jordan consiste en transformar un sis-
tema de ecuaciones A, a otro B, por medio de operaciones elementales,
de tal forma que B queda en la siguiente forma diagonal y por lo tanto la
soluci¶on queda de manera directa.
a011x1 = b01
a022x2 = b02
a033x3 = b03
...
a0mnxm = b0m
Ejemplos:
Ejercicio 6 Continuemos el ejercicio 1, aplicando el m¶etodo completo Gauss-Jordan.
Paso 1 Del ejercicio 1 sabemos que:
2x + y = 1
3x ¡ y = 2 »=
2x + y = 1
¡5y = 1
Paso 2 Continuamos haciendo ceros cambiando E1 ! E2 + 5E1
E2 : ¡5y = 1
5E1 : 10x + 5y = 5
E1 : 10x = 6
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 18
2x + y = 1
3x ¡ y = 2 »=
10x = 6
¡ 5y = 1
Paso 3 Se obtiene el valor de x = 3=5 de la ecu. (1).
Paso 4 Se obtiene el valor de y = ¡1=5 de la ecu. (2).
Ejercicio 7 Continuemos el ejercicio 5, aplicando el m¶etodo completo Gauss-Jordan.
Paso 1 Del ejercicio 5 sabemos que:
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
5y + 11z = 23
»=
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
z = 3
Paso 2 Continuamos haciendo ceros cambiando
E2 ! ¡2E3 + E2
¡2E3 : ¡2z = ¡6
E2 : y + 2z = 4
E2 : y = ¡2
E1 ! ¡6E3 + E1
¡6E3 : ¡6z = ¡18
E1 : 2x + 4y + 6z = 18
E1 : 2x + 4y = 0
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
5y + 11z = 23
»=
2x + 4y = 0
y = ¡2
z = 3
Paso 3 Continuamos haciendo ceros cambiando
E1 ! ¡4E2 + E1
¡4E2 : ¡4y = 8
E1 : 2x + 4y = 0
E1 : 2x = 8
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 19
Paso 4 Se obtiene ¯nalmente.
2x + 4y + 6z = 18
y + 2z = 4
5y + 11z = 23
»=
2x = 8
y = ¡2
z = 3
De donde x = 4; y = ¡2; z = 3 de acuerdo al ejemplo 5.
1.7. Sistemas Homog¶eneos.
Son de especial inter¶es los sistemas de ecuaciones donde b1 = ¢ ¢ ¢ = bn = 0. A
estos sistemas les llamaremos sistemas homog¶eneos.
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ¢ ¢ ¢ + a3nxn = 0
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = 0
Un sistema de ecuaciones lineales homog¶eneo (SELH), SIEMPRE tiene la solu-
ci¶on x1 = x2 = ::: = xn = 0. Llamada soluci¶on trivial.
En este caso, entonces el sistema ¶o tiene s¶olo la soluci¶on trivial ¶o tiene m¶as de
una soluci¶on.
Aplicando el m¶etodo de Gauss, s¶³ obtenemos m¶as inc¶ognitas que ecuaciones,
entonces habr¶a m¶as de una soluci¶on.
Ejercicio 8 Apliquemos el m¶etodo de Gauss a SELH.
x + 2y = 0
3x + 4y = 0
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 20
Paso 1 Aplicando la OE. E2 ! ¡3E1 + E2
¡3E1 : ¡3x ¡ 6y = 0
E2 : 3x + 4y = 0
E2 : ¡2y = 0
x + 2y = 0
3x + 4y = 0 »=
x + 2y = 0
¡ 2y = 0
Paso 3 Se obtiene directamente que el SELH tiene una ¶unica soluci¶on, y es la
trivial.
Ejercicio 9 Resolver el siguiente SELH.
x ¡ y = 0
2x ¡ 2y = 0
Paso 1 Aplicando la OE. E2 ! ¡2E1 + E2
¡2E1 : ¡2x + 2y = 0
E2 : 2x ¡ 2y = 0
E2 : 0 = 0
Como obtenemos una igualdad que es siempre verdadera, por lo tanto
se cumple para todo x; y, la podemos quitar. Por lo tanto:
x ¡ y = 0
2x ¡ 2y = 0 »= x ¡ y = 0
Es decir, tenemos una ecuaci¶on con dos variables, entonces tenemos una
variable libre.
Paso 3 En este caso podemos asignar un valor a una variable, digamos y = a.
Ejercicio 10 Resolver el siguiente SELH.
x + y + z = 0
x ¡ y ¡ z = 0
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 21
Paso 1 Aplicando la OE. E2 ! ¡E1 + E2
¡E1 : ¡x ¡ y ¡ z = 0
E2 : x ¡ y ¡ z = 0
E2 : ¡2y ¡ 2z = 0
Por lo tanto:
x + y + z = 0
x ¡ y ¡ z = 0 »=
x + y + z = 0
¡ 2y ¡ 2z = 0
Paso 2 Aplicando la OE. E2 ! E2=2
E2=2 : ¡x ¡ y = 0
Por lo tanto:
x + y + z = 0
x ¡ y ¡ z = 0 »=
x + y + z = 0
¡ y ¡ z = 0
Paso 3 Por lo tanto de obtenemos que y = ¡z, y sustituyendo en la Ec. 1, ten-
emos que x = 0: As¶³ el conjunto soluci¶on se escribe como f(0; y;¡y)gjy 2 R: